حل تمرین ترکیبی فصل 9 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 150 - تمرین ترکیبی 1 این تمرین به شما کمک می‌کند تا رابطه بین **زاویه‌ی مرکزی**، **زاویه‌ی محاطی** و **کمان** را در یک دایره تثبیت کنید. ### گام اول: شناسایی مثلث و زوایای معلوم 1. **مثلث $\mathbf{AOC}$:** این مثلث در مرکز $\mathbf{O}$ تشکیل شده است. چون $\mathbf{\overline{OA}}$ و $\mathbf{\overline{OC}}$ هر دو **شعاع** دایره هستند، مثلث $\mathbf{AOC}$ **متساوی‌الساقین** است. $${ \overline{OA} = \overline{OC} }$$ 2. **زوایای قاعده‌ی برابر:** در مثلث متساوی‌الساقین، زوایای مقابل اضلاع برابر، مساوی هستند. $${ \hat{C}_{A} = \angle OAC = 30^{\circ} }$$ (زاویه‌ی $\mathbf{\angle OCA}$ در مثلث $\mathbf{AOC}$) ### گام دوم: محاسبه‌ی زاویه‌ی $\mathbf{\angle COB}$ (زاویه‌ی مرکزی) 1. **زاویه‌ی مرکزی $\mathbf{\angle AOC}$:** این زاویه رأس مثلث $\mathbf{AOC}$ است. مجموع زوایای داخلی مثلث $180^{\circ}$ است. $${ \angle AOC = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} }$$ 2. **زاویه‌ی $\mathbf{\angle COB}$:** چون $\mathbf{\overline{AB}}$ قطر است، $\mathbf{\angle AOC}$ و $\mathbf{\angle COB}$ **مکمل** یکدیگرند (روی خط راست $180^{\circ}$ تشکیل می‌دهند). $${ \angle COB = 180^{\circ} - \angle AOC }$$ $${ \angle COB = 180^{\circ} - 120^{\circ} }$$ * **پاسخ:** $\mathbf{\angle COB} = \mathbf{60^{\circ}}$ ### گام سوم: محاسبه‌ی کمان $\overparen{BC}$ 1. **رابطه‌ی کمان و زاویه‌ی مرکزی:** اندازه‌ی کمان $\overparen{BC}$ **برابر** با اندازه‌ی زاویه‌ی مرکزی روبه‌رو به آن است ($\mathbf{\angle COB}$). $${ \overparen{BC} = \angle COB }$$ * **پاسخ:** $\overparen{BC} = \mathbf{60^{\circ}}$ ### گام چهارم: محاسبه‌ی زاویه‌ی $\mathbf{\hat{C}}$ (زاویه‌ی $\angle ABC$) **توجه:** منظور از $\mathbf{\hat{C}}$ در این عبارت احتمالاً زاویه‌ی $\mathbf{\angle ACB}$ است که روبه‌رو به قطر $\mathbf{AB}$ قرار دارد. 1. **زاویه‌ی $\mathbf{\angle ACB}$:** این زاویه یک **زاویه‌ی محاطی** است که روبه‌رو به **قطر** $\mathbf{\overline{AB}}$ قرار دارد. 2. **خاصیت:** زاویه‌ی محاطی روبه‌رو به قطر، **قائم** است. * **پاسخ:** $\mathbf{\hat{C}} = \mathbf{90^{\circ}}$ **نتایج نهایی:** * $\mathbf{\hat{C}} = \mathbf{90^{\circ}}$ (اگر منظور $\angle ACB$ باشد) * $\mathbf{\angle COB} = \mathbf{60^{\circ}}$ * $\overparen{BC} = \mathbf{60^{\circ}}$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 150 - تمرین ترکیبی 3 این تمرین، ویژگی‌های **چهارضلعی محاط در دایره** را با استفاده از مفاهیم هندسه و جبر (فیثاغورس) ترکیب می‌کند. ### الف) اثبات مستطیل بودن 1. **فرض:** چهارضلعی $\mathbf{ABCD}$ محاط در دایره است و $\mathbf{\overline{AB} = \overline{CD}}$ و $\mathbf{\overline{AD} = \overline{BC}}$ (ضلع‌های روبه‌رو با هم برابرند). 2. **قطر دایره (وترهای برابر):** چون $\mathbf{\overline{AB} = \overline{CD}}$ (وترها برابرند)، کمان‌های روبه‌رو به آن‌ها نیز برابرند: $\overparen{AB} = \overparen{CD}$. به همین ترتیب $\overparen{AD} = \overparen{BC}$. 3. **قطر مستطیل:** وترهای $\mathbf{\overline{AC}}$ و $\mathbf{\overline{BD}}$ در این چهارضلعی **قطرهای** آن هستند. 4. **زاویه‌های داخلی:** هر یک از زاویه‌های داخلی چهارضلعی، زاویه‌ی **محاطی** است و روبه‌رو به یکی از قطرهای دایره قرار دارد. (مثل $\mathbf{\hat{A}}$ روبه‌رو به $\overparen{BDC}$ و $\mathbf{\hat{B}}$ روبه‌رو به $\overparen{ADC}$). * **اثبات قائم بودن:** یک چهارضلعی محاط در دایره که ضلع‌های روبه‌روی آن برابر باشند، مستطیل است (یا مربع، که حالت خاص مستطیل است). دلیل این امر این است که تنها چهارضلعی که اضلاع روبه‌روی برابر دارد و محاط در دایره است، مستطیل است. * در یک چهارضلعی محاطی، **هر زاویه‌ی محاطی** روبه‌رو به **کمان‌های** $\overparen{AB}$ و $\overparen{CD}$ (مثلاً $\angle ACB$ و $\angle CAD$) و کمان‌های $\overparen{AD}$ و $\overparen{BC}$ قرار دارد. اگر دو وتر $\mathbf{\overline{AC}}$ و $\mathbf{\overline{BD}}$ را رسم کنیم، این دو قطر همدیگر را در مرکز قطع می‌کنند (زیرا مستطیل است و قطرها برابرند). در نتیجه، هر زاویه‌ی داخلی (مانند $\mathbf{\hat{A}}$) روبه‌رو به یک نیم‌دایره (کمان $\overparen{BCD}$) قرار دارد. * **زاویه‌ی $\mathbf{\hat{A}}$ محاطی روبه‌رو به قطر $\mathbf{\overline{BD}}$** (که در شکل مشخص است) است. * **نتیجه:** هر زاویه‌ی محاطی روبه‌رو به قطر، **$90^{\circ}$** است. $\mathbf{\hat{A} = \hat{B} = \hat{C} = \hat{D} = 90^{\circ}}$ **نتیجه:** چون همه‌ی زاویه‌های داخلی $\mathbf{90^{\circ}}$ هستند و ضلع‌های روبه‌رو مساوی‌اند، این چهارضلعی یک **مستطیل** است. ### ب) محاسبه‌ی طول مستطیل 1. **شعاع و قطر دایره:** شعاع دایره $\mathbf{r = 5}$ سانتی‌متر است. قطر دایره (که همان **وتر** $\mathbf{\overline{BD}}$ و $\mathbf{\overline{AC}}$ و **قطر مستطیل** است) برابر است با: $${ \mathbf{d} = 2r = 2(5) = 10 \text{ cm} }$$ 2. **مثلث قائم‌الزاویه:** در مستطیل، قطر ($\mathbf{d}$) و طول ($\mathbf{L}$) و عرض ($\mathbf{W}$) یک مثلث قائم‌الزاویه تشکیل می‌دهند. (مثل $\mathbf{\triangle DAB}$ قائم‌الزاویه در $\mathbf{A}$) * **وتر:** $\mathbf{d = 10}$ * **عرض (ضلع):** $\mathbf{W = \sqrt{19}}$ * **طول (ضلع):** $\mathbf{L}$ (مجهول) 3. **رابطه‌ی فیثاغورس:** $${ d^2 = L^2 + W^2 }$$ $${ 10^2 = L^2 + (\sqrt{19})^2 }$$ $${ 100 = L^2 + 19 }$$ $${ L^2 = 100 - 19 }$$ $${ L^2 = 81 }$$ $${ L = \sqrt{81} }$$ $${ \mathbf{L = 9 \text{ cm}} }$$ **پاسخ نهایی:** طول مستطیل **۹ سانتی‌متر** است.